无穷级数

无穷级数总结

1. 基本概念

• 级数：
  给定数列 ${a_n}$，其无穷和
  \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots\) 称为级数。

• 部分和：
  \(S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k\) 称为前 $n$ 项部分和。

• 收敛与发散：
  若 $\lim_{n \to \infty} S_n = S$ 存在，则级数收敛，和为 $S$；否则发散。

---

2. 收敛的必要条件

若 $\sum a_n$ 收敛，则必须有 \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\) 但反之不成立。
例：调和级数 $\sum \frac{1}{n}$，$\lim a_n = 0$，但级数发散。

---

3. 常见收敛级数

1. 等比级数 \(\sum_{n=0}^{\infty} q^n = \frac{1}{1-q}, \quad |q| < 1\) 若 $|q|\ge 1$ 发散。

2. p-级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}\)

   • 收敛：$p>1$
   • 发散：$p \le 1$

---

4. 正项级数判别法

设 $a_n \ge 0$。

1. 比较判别法
   • 若 $0 \le a_n \le b_n$，且 $\sum b_n$ 收敛，则 $\sum a_n$ 收敛。
   • 若 $0 \le b_n \le a_n$，且 $\sum b_n$ 发散，则 $\sum a_n$ 发散。
2. 比值判别法（d’Alembert） \(L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}\)
   • $L<1$ 收敛
   • $L>1$ 发散
   • $L=1$ 不确定
3. 根值判别法（Cauchy） \(L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}\)
   • $L<1$ 收敛
   • $L>1$ 发散
   • $L=1$ 不确定
4. 积分判别法
   若 $a_n = f(n)$，且 $f(x)$ 单调递减、非负： \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n \quad 与 \quad \int_1^{\infty} f(x)\, dx\) 收敛性一致。

---

5. 一般项级数判别法

适用于非正项级数。

1. 交错级数判别法（Leibniz）
   若 $a_n \ge 0$ 且 $a_n \downarrow 0$，则 \(\sum (-1)^{n-1} a_n\) 收敛。

2. 绝对收敛与条件收敛

   • $\sum

     a_n

     $ 收敛 $\Rightarrow$ $\sum a_n$ 绝对收敛。

   • $\sum a_n$ 收敛但 $\sum

     a_n

     $ 发散 $\Rightarrow$ 条件收敛。

   例：$\sum \frac{(-1)^{n-1}}{n}$ 条件收敛。

3. Dirichlet 判别法、Abel 判别法：一般了解，不是重点考点。

---

6. 幂级数

• 定义 \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n\)

• 收敛半径 $R$ \(R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}} \quad \text{或} \quad R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|\)

• 收敛区间：$(x_0-R, x_0+R)$ 必收敛，端点需单独判定。

• 逐项运算性质（在收敛区间内可逐项微分、积分） \(\frac{d}{dx} \sum a_n (x-x_0)^n = \sum n a_n (x-x_0)^{n-1}\) \(\int \sum a_n (x-x_0)^n dx = C + \sum \frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1}\)

---

7. 常见幂级数展开

1. 几何级数
   \(\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n, \quad |x|<1\)

2. 指数函数
   \(e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}, \quad x \in \mathbb{R}\)

3. 正弦与余弦
   \(\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\) \(\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}\)

4. 对数函数
   \(\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}, \quad -1<x\le 1\)

5. 反正切函数
   \(\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}, \quad |x|\le 1\)

---

8. Fourier 级数（数一重点）

• 周期函数展开
  对 $2\pi$ 周期函数 $f(x)$： \(f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)\)

• 系数公式： \(a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx, \quad b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx\)