第七章 微分方程
一阶微分方程
1. 变量可分离方程
\(\frac{dy}{dx} = f(x)g(y) \implies \frac{1}{g(y)} dy = f(x) dx \implies \int \frac{1}{g(y)} dy = \int f(x) dx + C\) 解法:分离变量,两端积分
2.齐次微分方程
形式:
\[\frac{dy}{dx} = F\left(\frac{y}{x}\right)\] \[v = \frac{y}{x}, \quad y = vx \implies \frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}\]解法: 作代换 u = y/x，即 y = ux，将原方程化为可分离变量的方程。
3. 一阶线性微分方程
形式:
\(\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)\) \(y^{'}+p(x)y=q(x)\) 解法:
通解公式:
\[y = e^{-\int P(x)dx} \left( \int Q(x)e^{\int P(x)dx} dx + C \right)\]4.伯努利方程
形式:
\[\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n \quad (n \neq 0, 1)\]解法:
两边同除$y^{n}$ ,令$z=y^{1-n}$ , 转化为一阶线性微分方程求解
\[\frac{dz}{dx} + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x)\]5.全微分方程
形式:
\[P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0\]判别条件:
\[\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}\]解法: 若条件成立，则方程左边是某个函数 u(x, y) 的全微分，即 du(x, y) = Pdx + Qdy。方程的通解为 u(x, y) = C。
求u(x,y)有三种方法
- 偏积分
- 凑微分
- 线积分
可降解的高阶方程
1. y(n)=f(x) 型
解法: 对 f(x) 连续积分 n 次即可。
2. y′′=f(x,y′) 型 (不显含 y)
解法: 令 p = y'，则 p' = y''。原方程化为一阶方程 p' = f(x, p)。求出 p 后，再通过 y = ∫ p(x) dx求解。
3. y′′=f(y,y′) 型 (不显含 x)
- 解法: 令
p = y'，则 $y’’ = \frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy} \frac{dy}{dx} = p \frac{dp}{dy}$。原方程化为 $p \frac{dp}{dy} = f(y, p)$。求出p(y)后，再解可分离变量方程 $\frac{dy}{dx} = p(y)$。
高阶线性微分方程
齐次方程: $y’’ + P(x)y’ + Q(x)y = 0$。若 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是其两个线性无关的解，则其通解为 $Y = C_1y_1(x) + C_2y_2(x)$。
注意: 两个解线性无关的充要条件是它们之比不为常数.
非齐次方程: 其通解 y 等于对应的齐次方程的通解 Y 加上非齐次方程本身的一个特解 y*。
叠加原理: 若 $y_1$和 $y_2$ 分别是方程 $… = f_1(x)$和 $… = f_2(x)$的特解，则 $y_1* + y_2*$ 是方程 $… = f_1(x) + f_2(x)$ 的一个特解。
常系数齐次线性微分方程
形式:
\[y'' + py' + qy = 0\]特征方程:
\[r^2 + pr + q = 0\]通解形式 (根据特征根的情况):
-
两个不相等的实根 $r_1$, $r_2$:
$y = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}$
-
两个相等的实根 $r_1 = r_2 = r$:
$y = (C_1 + C_2x)e^{rx}$
-
一对共轭复根 $r_{1,2} = \alpha \pm i\beta$:
$y = e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x))$
常系数非齐次线性微分方程
形式:
\[y'' + py' + qy = f(x)\]解法: 使用待定系数法求特解 y*，主要针对以下两种 f(x) 类型。
类型一:$f(x)=P_m(x)e^{λx}$
特解形式:
\(y^* = x^k Q_m(x)e^{\lambda x}\)
类型二: $f(x)=e^{αx}[P_{l}(x)cos(βx)+P_{n}(x)sin(βx)]$
特解形式:
\[y^* = x^k e^{\alpha x}[R_m(x)\cos(\beta x) + S_m(x)\sin(\beta x)]\]欧拉方程
形式:
\[x^n y^{(n)} + a_{n-1} x^{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 x y' + a_0 y = 0\]解法: 令$x=e^{t}$ ,可将上述方程化为线性常系数微分方程
\(x^{k}y^{(k)}= D(D-1)...(D-k+1)y\) 其中D代表对t求导数的运算.
微分方程的应用
略