第七章 微分方程

一阶微分方程

1. 变量可分离方程

$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)⟹\frac{1}{g(y)}dy=f(x)dx⟹\int \frac{1}{g(y)}dy=\int f(x)dx+C$ 解法:分离变量,两端积分

2.齐次微分方程

形式:

$$\frac{dy}{dx}=F\left(\frac{y}{x}\right)$$ $$v=\frac{y}{x},y=vx⟹\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}$$

解法: 作代换 u = y/x，即 y = ux，将原方程化为可分离变量的方程。

3. 一阶线性微分方程

形式:

$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$ $y^{{}^{\prime }}+p(x)y=q(x)$ 解法:

通解公式:

$$y=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C)$$

4.伯努利方程

形式:

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n(n\ne 0,1)$$

解法:

两边同除$y^n$ ,令$z=y^{1-n}$ , 转化为一阶线性微分方程求解

$$\frac{dz}{dx}+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x)$$

5.全微分方程

形式:

$$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$$

判别条件:

$$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$$

解法: 若条件成立，则方程左边是某个函数 u(x, y) 的全微分，即 du(x, y) = Pdx + Qdy。方程的通解为 u(x, y) = C。

求u(x,y)有三种方法

• 偏积分
• 凑微分
• 线积分

可降解的高阶方程

1. y(n)=f(x) 型

解法: 对 f(x) 连续积分 n 次即可。

2. y′′=f(x,y′) 型 (不显含 y)

解法: 令 p = y'，则 p' = y''。原方程化为一阶方程 p' = f(x, p)。求出 p 后，再通过 y = ∫ p(x) dx求解。

3. y′′=f(y,y′) 型 (不显含 x)

• 解法: 令 p = y'，则 $y^{″}=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy}$。原方程化为 $p\frac{dp}{dy}=f(y,p)$。求出 p(y) 后，再解可分离变量方程 $\frac{dy}{dx}=p(y)$。

高阶线性微分方程

齐次方程: $y^{″}+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=0$。若 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是其两个线性无关的解，则其通解为 $Y=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)$。

注意: 两个解线性无关的充要条件是它们之比不为常数.

非齐次方程: 其通解 y 等于对应的齐次方程的通解 Y 加上非齐次方程本身的一个特解 y*。

$$y=Y+y^{\ast }$$

叠加原理: 若 $y_1$\mathrm{和}$y_2$\mathrm{分}\mathrm{别}\mathrm{是}\mathrm{方}\mathrm{程}$… = f_1(x)$\mathrm{和}$… = f_2(x)$\mathrm{的}\mathrm{特}\mathrm{解}，\mathrm{则}$y_1* + y_2*$\mathrm{是}\mathrm{方}\mathrm{程}$… = f_1(x) + f_2(x)$ 的一个特解。

常系数齐次线性微分方程

形式:

$$y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=0$$

特征方程:

$$r^2+pr+q=0$$

通解形式 (根据特征根的情况):

• 两个不相等的实根 $r_1$, $r_2$:

  $y=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}$

• 两个相等的实根 $r_1=r_2=r$:

  $y=(C_1+C_{2}x)e^{rx}$

• 一对共轭复根 $r_{1,2}=\alpha \pm i\beta$:

  $y=e^{\alpha x}(C_1\cos (\beta x)+C_2\sin (\beta x))$

常系数非齐次线性微分方程

形式:

$$y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$$

解法: 使用待定系数法求特解 y*，主要针对以下两种 f(x) 类型。

类型一:$f(x)=P_m(x)e^{\lambda x}$

特解形式:

$y^{\ast }=x^k{Q}_m(x)e^{\lambda x}$

类型二: $f(x)=e^{\alpha x}[P_l(x)cos(\beta x)+P_n(x)sin(\beta x)]$

特解形式:

$$y^{\ast }=x^k{e}^{\alpha x}[R_m(x)\cos (\beta x)+S_m(x)\sin (\beta x)]$$

欧拉方程

形式:

$$x^n{y}^{(n)}+a_{n-1}{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +a_{1}x{y}^{\prime }+a_{0}y=0$$

解法: 令$x=e^t$ ,可将上述方程化为线性常系数微分方程

$x^k{y}^{(k)}=D(D-1)...(D-k+1)y$ 其中D代表对t求导数的运算.

微分方程的应用

略