多元函数微分学

1. 基础与极限

• 多元函数的概念
  • 函数：$f(x,y,z,\dots )$ 定义在一定自变量区域上的值域函数。
• 极限与连续性
  • 极限定义：若 $\underset{(x,y)\to (a,b)}{lim}f(x,y)=L$，则表示当 $(x,y)$ 趋近于 $(a,b)$ 时，$f(x,y)$ 的值趋近于 $L$。
  • 连续性：$\underset{(x,y)\to (a,b)}{lim}f(x,y)=f(a,b)$。
  • 判断思路：沿不同路径趋近的极限是否一致；可用 ε-δ、路径法、以及可导性隐含的连续性关系。

2. 偏导数、全微分与微分

• 偏导数
  • 定义：$f_x(a,b)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}$，同理 $f_y(a,b)$。

3. 高阶偏导数

定义

• 如果 z = f(x, y) 在区域 D 内的偏导函数 ∂z/∂x、∂z/∂y 仍然存在偏导数，则称之为函数 f(x, y) 的二阶偏导数，常记为 $z_{xx}=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2},z_{yx}=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x},z_{xy}=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y},z_{yy}=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}$

常称

• 混合偏导数为 $\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y},\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}$

定理

• 如果函数 z = f(x, y) 的两个二阶混合偏导数 $\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$ 与 $\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}$ 在区域 D 内连续，则在该区域内这两个混合偏导数必定相等： $\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}$

补充说明

• 对于二元以上的函数，也可以类比地定义二阶或更高阶偏导数，且若二阶及上的混合偏导数在某区域内连续时，混合偏导数的值与求导次序无关。

• 全微分与微分近似
  • 全微分（第一阶近似）：$df=f_{x}dx+f_{y}dy$（对二维函数），推广到多变量。
  • 条件：若在点可微，则必有偏导存在且一致连续性加强时可用。
• 方向导数
  • 定义：在单位向量 $\mathbf{u}\mathrm{方}\mathrm{上}\mathrm{的}\mathrm{变}\mathrm{化}\mathrm{率}，$$D_{\mathbf{u}}f=\mathrm{\nabla }f\cdot \mathbf{u}$。
• 梯度
  • 定义：$\mathrm{\nabla }f=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\dots )$。
  • 性质：梯度是函数在某点最大上升方向的向，大小等于该点的最大变化率。

可微性判定:

• 一阶偏导数是否存在
• $\frac{\mathrm{△}z-dz}{\sqrt{(\mathrm{△}x{)}^2+(\mathrm{△}y{)}^2}}$的极限为0

4. 阶导数、克莱罗定理与 Hessian

• 二阶偏导数
  • $f_{xx},f_{yy},f_{xy},f_{yx}$。
• 克莱罗定理（混合偏导相等）
  • 若二阶偏导在点连续，则 $f_{xy}=f_{yx}$。
• 海森矩阵（Hessian）
  • $H=\left(\begin{array}{cc}{f}_{xx}& f_{xy}\\ f_{yx}& f_{yy}\end{array}\right)$（二维举例）。
• 二阶微分判定（无约束极值）
  • 设 $\mathrm{\nabla }f(a,b)=0$，若 $H$ 为正定则极小值，负定则极大值；若半正定/半负定则待定；若行列式 $D=f_{xx}{f}_{yy}-(f_{xy}{)}^2$
  • 判断标准：
    • $D>0$ 且 $f_{xx}>0$ → 极小值
    • $D>0$ 且 $f_{xx}<0$ → 极大值
    • $D<0$ → 鞍点
    • $D=0$ 待定

5. 隐函数定理与逆函数定理

• 隐函数定理
  • 若在点处 $g(x,y)=0$ 的偏导 $\frac{\partial g}{\partial y}\ne 0$，则存在在邻域内的函数 $y=\varphi (x)$，使得 $g(x,\varphi (x))=0$。
  • 推导关系：在可导条件下，$\frac{dy}{dx}=-\frac{g_x}{g_y}\text{若 }g(x,y)=0\text{ 且 }\frac{\partial g}{\partial y}\ne 0.$
• 逆函数定理
  • 若 Jacobian 矩阵在点可逆，则在该点及其邻域存在局部逆函数。

6. 多元泰勒展开

• 一、二、三变量的泰勒展开
  • 二元函数在点 ((a,b)) 附近： $f(a+h,b+k)=f(a,b)+f_x(a,b)h+f_y(a,b)k+\frac{1}{2}(f_{xx}(a,b)h^2+2f_{xy}(a,b)hk+f_{yy}(a,b)k^2)+o(\Vert (h,k){\Vert }^2)$
  • 高阶展开可推广到任意阶，包含全偏导系数。

7. 重积分与区域变换

• 二重积分
  • 定义：在平面区域 $D$ 上积分 ${\iint }_{D}f(x,y)dA$。
• 极坐标/区域变换
  • 变换公式及 Jacobian：例如极坐标 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,dA=rdrd\theta$。
• 三重积分
  • ${\iiint }_{D}f(x,y,z)dV$ 的定义与计算。

8. 向量场、曲线积分与曲面积分

• 曲线积分（标量场）
  • 定义：沿曲线 C 的曲线积分 ${\int }_{C}fds={\int }_a^{b}f(\mathbf{r}(t))\Vert {\mathbf{r}}^{\prime }(t)\Vert dt$。
• 向量场的曲线积分
  • 义： ${\int }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}={\int }_C\mathbf{F}\cdot {\mathbf{r}}^{\prime }(t)dt$。
• 曲面积分
  • 标量场： ${\iint }_{S}fdS$。
  • 向量场： ${\iint }_S\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}={\iint }_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS$。

9. 向量分析的基本定理（常考）

• Green 定理（平面）
  • ${\oint }_{C}Pdx+Qdy={\iint }_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dA$，(C) 为 (D) 的边界。
• Stokes 定理
  • ${\oint }_{\partial S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}={\iint }_S(\mathrm{\nabla }\times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n}dS$；(S) 为曲面，(\partial S) 为边界。
• 高斯（散度）定理
  • ${\iint }_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS={\iiint }_V(\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{F})dV$；(S) 为 (V) 的闭合曲面。

10. 最优化与拉格朗日乘数法

• 无约束极值
  • 条件：$\mathrm{\nabla }f=0$。
  • 判定：利用 Hessian 的符号确定极值性质（见第3节）。
• 约束极值（拉格朗日乘数法）
  • 目标：在约束 $g(x,y)=0$ 下极值，构造 $L(x,y,\lambda )=f(x,y)-\lambda g(x,y)$。
  • 必要条件： ${\mathrm{\nabla }}_{x}L=0,{\mathrm{\nabla }}_{y}L=0,\frac{\partial L}{\partial }$