多元函数微分学

1. 基础与极限

• 多元函数的概念
  • 函数：\(f(x, y, z, \dots)\) 定义在一定自变量区域上的值域函数。
• 极限与连续性
  • 极限定义：若 \(\lim_{(x,y)\to (a,b)} f(x,y)=L\)，则表示当 $(x,y)$ 趋近于 $(a,b)$ 时，$f(x,y)$ 的值趋近于 $L$。
  • 连续性：\(\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y) = f(a,b)\)。
  • 判断思路：沿不同路径趋近的极限是否一致；可用 ε-δ、路径法、以及可导性隐含的连续性关系。

2. 偏导数、全微分与微分

• 偏导数
  • 定义：\(f_x(a,b)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}\)，同理 \(f_y(a,b)\)。

3. 高阶偏导数

定义

• 如果 z = f(x, y) 在区域 D 内的偏导函数 ∂z/∂x、∂z/∂y 仍然存在偏导数，则称之为函数 f(x, y) 的二阶偏导数，常记为 \(z_{xx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}, \quad z_{yx} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \, \partial x}, \quad z_{xy} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \, \partial y}, \quad z_{yy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}\)

常称

• 混合偏导数为 \(\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}, \quad \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}\)

定理

• 如果函数 z = f(x, y) 的两个二阶混合偏导数 \(\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\) 与 \(\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}\) 在区域 D 内连续，则在该区域内这两个混合偏导数必定相等： \(\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}\)

补充说明

• 对于二元以上的函数，也可以类比地定义二阶或更高阶偏导数，且若二阶及上的混合偏导数在某区域内连续时，混合偏导数的值与求导次序无关。

• 全微分与微分近似
  • 全微分（第一阶近似）：\(df = f_x\,dx + f_y\,dy\)（对二维函数），推广到多变量。
  • 条件：若在点可微，则必有偏导存在且一致连续性加强时可用。
• 方向导数
  • 定义：在单位向量 $\mathbf{u} 方上的变化率，$$D_{\mathbf{u}}f = \nabla f \cdot \mathbf{u}$。
• 梯度
  • 定义：\(\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y},\,\dots\right)\)。
  • 性质：梯度是函数在某点最大上升方向的向，大小等于该点的最大变化率。

可微性判定:

• 一阶偏导数是否存在
• $\frac{\triangle{z}-dz}{\sqrt{(\triangle{x})^2+(\triangle{y})^2}}$的极限为0

4. 阶导数、克莱罗定理与 Hessian

• 二阶偏导数
  • \(f_{xx}, f_{yy}, f_{xy}, f_{yx}\)。
• 克莱罗定理（混合偏导相等）
  • 若二阶偏导在点连续，则 \(f_{xy}=f_{yx}\)。
• 海森矩阵（Hessian）
  • \(H=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}\)（二维举例）。
• 二阶微分判定（无约束极值）
  • 设 \(\nabla f(a,b)=0\)，若 \(H\) 为正定则极小值，负定则极大值；若半正定/半负定则待定；若行列式 \(D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2\)
  • 判断标准：
    • \(D>0\) 且 \(f_{xx}>0\) → 极小值
    • \(D>0\) 且 \(f_{xx}<0\) → 极大值
    • \(D<0\) → 鞍点
    • \(D=0\) 待定

5. 隐函数定理与逆函数定理

• 隐函数定理
  • 若在点处 \(g(x,y)=0\) 的偏导 \(\frac{\partial g}{\partial y} \neq 0\)，则存在在邻域内的函数 \(y=\phi(x)\)，使得 \(g(x,\phi(x))=0\)。
  • 推导关系：在可导条件下，\(\frac{dy}{dx} = -\,\frac{g_x}{g_y} \quad \text{若 } g(x,y)=0 \text{ 且 } \frac{\partial g}{\partial y} \neq 0.\)
• 逆函数定理
  • 若 Jacobian 矩阵在点可逆，则在该点及其邻域存在局部逆函数。

6. 多元泰勒展开

• 一、二、三变量的泰勒展开
  • 二元函数在点 ((a,b)) 附近： \(f(a+h,b+k) = f(a,b) + f_x(a,b) h + f_y(a,b) k + \frac{1}{2}\left( f_{xx}(a,b) h^2 + 2 f_{xy}(a,b) hk + f_{yy}(a,b) k^2 \right) + o(\|(h,k)\|^2)\)
  • 高阶展开可推广到任意阶，包含全偏导系数。

7. 重积分与区域变换

• 二重积分
  • 定义：在平面区域 \(D\) 上积分 \(\iint_D f(x,y)\,dA\)。
• 极坐标/区域变换
  • 变换公式及 Jacobian：例如极坐标 \(x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta\)。
• 三重积分
  • \(\iiint_D f(x,y,z)\,dV\) 的定义与计算。

8. 向量场、曲线积分与曲面积分

• 曲线积分（标量场）
  • 定义：沿曲线 C 的曲线积分 \(\int_C f\,ds = \int_{a}^{b} f(\mathbf{r}(t)) \|\mathbf{r}'(t)\|\,dt\)。
• 向量场的曲线积分
  • 义： \(\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{r}'(t)\,dt\)。
• 曲面积分
  • 标量场： \(\iint_S f\,dS\)。
  • 向量场： \(\iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iint_S \mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\,dS\)。

9. 向量分析的基本定理（常考）

• Green 定理（平面）
  • \(\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA\)，(C) 为 (D) 的边界。
• Stokes 定理
  • \(\oint_{\partial S} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla\times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n}\,dS\)；(S) 为曲面，(\partial S) 为边界。
• 高斯（散度）定理
  • \(\iint_S \mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\,dS = \iiint_V (\nabla\cdot \mathbf{F})\,dV\)；(S) 为 (V) 的闭合曲面。

10. 最优化与拉格朗日乘数法

• 无约束极值
  • 条件：\(\nabla f = 0\)。
  • 判定：利用 Hessian 的符号确定极值性质（见第3节）。
• 约束极值（拉格朗日乘数法）
  • 目标：在约束 \(g(x,y)=0\) 下极值，构造 \(L(x,y,\lambda) = f(x,y) - \lambda g(x,y)\)。
  • 必要条件： \(\nabla_x L = 0,\quad \nabla_y L = 0,\quad \frac{\partial L}{\partial}\)