二重积分

二重积分 Cheat Sheet

1. 定义

二重积分： \(\iint\limits_D f(x,y) \, d\sigma\)

• $D$：积分区域
• $d\sigma$：微元面积（$dx\,dy$ 或 $dy\,dx$）

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2. 计算步骤

1. 画图，确定积分区域 $D$
2. 选择积分次序：
   • 先 $y$ 后 $x$： \(\int_{x=a}^b \left[ \int_{y=g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y) \, dy \right] dx\)
   • 先 $x$ 后 $y$： \(\int_{y=c}^d \left[ \int_{x=h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y) \, dx \right] dy\)
3. 做内层积分 → 外层积分

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3. 极坐标代换

\(x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad d\sigma = r\, dr\, d\theta\) 常用于：

• 圆形、扇形、椭圆
• 含 $x^2 + y^2$ 的函数

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4. 性质

• 可加性：区域可拆分
• 对称性：
  • 奇函数在对称区间积分为 0
  • 偶函数可只算一半乘 2
• 常数积分： \(\iint_D k \, d\sigma = k \cdot S_D\)

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5. 常见应用

• 质量： \(M = \iint_D \rho(x,y) \, d\sigma\)
• 质心： \(\bar{x} = \frac{1}{M} \iint_D x\rho(x,y) \, d\sigma\) \(\bar{y} = \frac{1}{M} \iint_D y\rho(x,y) \, d\sigma\)

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